这个问题是加拿大数学家Leo Moser于1966年正式提出的：在宽度为1的L形平面走廊中，能通过直角转弯的“沙发”的最大面积是多少？
1968 年，数学家约翰·迈克尔·哈默斯利 (John Michael Hammersley) 提出了一个简单的解决方案。他将沙发设计成类似于电话听筒的形状，由两个四分之一圆和中间的矩形块组成。从中间的矩形块中挖出一个半圆形，从而使沙发的面积达到最大。 2.2074。
但不幸的是，这不是最佳解决方案。
1992年，美国数学家Gerver在Hammersley沙发的基础上进行改进，计算出最大沙发面积为2.2195。虽然面积比Hammersley沙发稍大，但方法上却聪明得多。
Gerver沙发由18条不同的曲线段组成，包括圆弧、渐开线圆和渐开线圆的渐开线。每个曲线段都由单独的解析表达式描述，这使得 Gerver 沙发在数学上非常复杂。
Gerver 推测他的解决方案是最优的，但他无法证明他的沙发是唯一一个（也是最大的）满足这一强条件的沙发。
2024年12月2日，韩国学者Jineon Baek发表新论文，声称证明了Gerver确实是正确的——他的沙发是最优的。这项研究在社交媒体（如x）上非常流行，并引起了很多人的关注。
图片来源：x@Scientific_Bird
图片来源：x@morallawwithin
然而，Jineon Baek 的校样论文长达 119 页，标题为“Gerver 沙发的最优性”。有关专家还需要一段时间来验证证明的正确性。
论文地址：
这个困扰人类58年的数学难题终于有了答案，不少网友也发表了自己的看法。
“我什至不是数学家，自从 20 年前听说这个问题以来，我就一直在思考这个问题。每次我需要把东西穿过门时，我都会思考它。”
“没想到这个形状是最优的，18个零件看起来不够优雅。”
证明过程简述
论文共分为8章，目录如下：
摘要只有一句话，“通过证明18条曲线段的Gerver沙发确实达到了最大面积2.2195，移动沙发问题就解决了”。
下图是Gerver的沙发G，比例尺代表构成G边界的18条解析曲线和线段的端点，包含G的支撑走廊L_t在右侧用灰色表示。
在证明Gerver的沙发G达到最大面积的过程中，作者除了在科学计算器上进行数值计算外，没有使用任何计算机辅助。下图 1.3 从走廊（顶部）和沙发（底部）的角度显示了移动沙发的运动。
下面就是作者要证明的定理1.1.1。
这道题之所以难，是因为没有通用的公式来计算所有可能的移动沙发的面积。因此，为了解决这个问题，作者证明了最大面积移动沙发S_max的一个性质，称为单射性条件。
对于每一个满足条件的移动沙发S，作者都会定义一个更大的形状R，它类似于Gerver沙发的形状（下图1.2）。那么R的面积Q(S)就是S的面积上限。如果是Gerver沙发G，则Q(S)与S的精确面积相匹配。 S 的可注入性条件确保区域 R 的边界形成若尔当曲线，从而能够使用格林定理计算 Q (S)。
那么，移动沙发S的面积相对于S的最大值的上界Q(S)如下：作者利用Brunn-Minkowski理论将Q表示为空间L上的二次方程凸元组（K，B，D）函数（上图1.2），并利用Mamikon定理建立Q在L上的全局凹性（下图1.13）。
作者利用加州大学戴维斯分校数学系 Dan Romik [Rom18] 教授提出的 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，证明 S = G 局部最大化 Q(S)。由于 Q 是凹的，G 也全局最大化 Q。此外，由于上限 Q 与 G 处的面积匹配，沙发 G 也全局最大化面积，从而证明了定理 1.1.1。
具体来说，定理1.1.1的完整证明分为以下三个主要步骤：
作者对步骤 1、2 和 3 进行了更详细的细分。
步骤1-(a)将S_max的可能形状简化为单调沙发，即支撑走廊内角刻出的凹痕的凸体（下图1.4）。
步骤1-(b)重新证明了Gerver的一个重要的局部最优条件，即S_max的边长应该相互平衡（定理1.3.1）。
由于Gerver原来的证明存在逻辑漏洞，并且没有解决移动沙发的连通性问题，因此作者引入了新的想法，重新进行了证明。步骤 1-(c) 使用前面的步骤和基本几何图形来显示 S_max 在移动过程中旋转了一个完整的直角。
步骤2证明了S_max上的可注入条件，这是后面建立上限Q的关键。说明L的内角(0,0)的轨迹在移动沙发的视角（参考系）中并没有形成自环（下图1.9）。
为了证明S_max的这个条件，作者在S_max上建立了一个新的微分不等式（方程（1.9））。这种不等式的灵感来自于 Romik 的 ODE，它平衡了 Gerver 沙发的微分边（方程（1.8））。
步骤3-(a) 将所有移动沙发的空间S展开为一组L个具有单射条件的凸元组(K,B,D)，使得每个S一一映射到(K,B,D) ε L（但不一定是L）。这个凸体描述了围绕S的区域R的不同部分（上图1.2）。
步骤3-(b)定义了扩展域L上的上界Q。作者沿着R的边界，使用格林定理和Brunn-Minkowski理论中关于K、B和D的二次面积表达式来表达其面积Q同时利用内射条件和乔丹曲线定理严格证明Q(K,B,D)是S的面积上界。
步骤 3-(c) 使用 Mamikon 定理确定 L 中 Q 的凹性（上图 1.13）。步骤 3-(d) 计算 Q 在由 Gerver 沙发 G 生成的凸体 (K,B,D) ε L 处的方向导数。使用 Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 来表明方向导数总是非正的。这意味着G是L中Q的局部最优值。L中Q的凹性意味着G也是L中Q的全局最优值。由于G处Q的值与面积相匹配，所以沙发G也全局最大化面积，最终完成定理1.1.1的证明。
更具体的证明细节请参考原论文。
作者简介
本文作者Jineon Baek毕业于韩国浦项科技大学，博士期间就读于密歇根大学安娜堡分校。目前，他是韩国首尔延世大学的博士后研究员，师从 Joonkyung Lee。
Jineon Baek 2018 年解释非对角 Erdős-Szekeres 凸多边形问题的视频截图
他的主要研究兴趣是组合学和几何中的优化问题，这些问题通常通过简单但有趣的公式吸引更广泛的受众。
他还发表了一些人工智能领域的相关文章。他在医学图像处理和教育数据挖掘领域发表了许多会议和期刊论文，特别是在X射线CT图像去噪、考试成绩预测和标准化备考推荐系统方面。
翻看Jineon Baek发表的文章，你会发现这并不是他第一次研究移动沙发的问题。今年6月他对移动沙发的上限进行了研究。 12 月 2 日，即新文章发布当天，arxiv 显示该论文的更新版本（v2）已提交，随后又撤回。
现在，很多网友都在网上讨论“Gerver沙发的最优性”。
“非常直观，正是大多数人会猜到的。但我想证明这一点要困难得多，对吧？”
“在现实生活中，答案取决于天花板的高度以及沙发是否有可倾斜的靠背。”
“对于沙发来说，这真是一个糟糕的设计。”
您认为这款移动沙发的最佳解决方案是什么？
参考链接：
